弃九法原理

  利用十进制数的这个特性检验几个数相加、相减、相乘的结果对不对，这种检查方法叫：弃九法。
  例如，用弃九法检验乘式5483×9117=49888511是否正确？
  因为 5483≡5+4+8+3≡11≡2(mod 9),
      9117≡9+1+1+7≡0(mod 9)，
  所以 5483×9117≡2×0≡0(mod 9).
  但是 49888511≡4+9+8+8+8+5+1+1≡8(mod 9),所以5483×9117≠49888511，即乘积不正确。
  要注意的是弃九法只能知道原题错误或有可能正确，但不能保证一定正确。

弃九法原理：

   (1)先证明十进制数的一个特有的性质：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。
设自然数N=a[n]a[n-1]…a[0]，其中a[0]，a[1]、…、a[n]分别是个位、十位、…上的数字，再设M=a[0]+a[1]+…+a[n]，求证：N≡M(mod 9).
  证明：
   ∵ N=a[n]a[n-1]…a[0]=a[n]*10^n+a[n-1]*10^(n-1)+…+a[1]*10+a[0].
  又∵ 1≡1(mod 9),
      10≡1(mod 9),
      102≡1(mod 9),
        …
       10n≡1(mod 9).
  上面这些同余式两边分别同乘以a[0]、a[1]、a[2]、…、a[n]，再相加得：
  a[0]+a[1]*10+…+a[n]*10^n≡(a[0]+a[1]+…+a[n])(mod 9)，
   即 N≡M(mod 9)，以上性质得证。

   有了以上性质，以后我们求一个整数被9除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9除的余数即可。例如，求1827496被9除的余数，只要先求（1＋8＋2＋7＋4＋9＋6），再求和被9除的余数。


   (2)设A=a[i]a[i-1]…a[0]，B=a[j]a[j-1]…a[0]，C=c[k]c[k-1]…c[0]，
   1.若A+B=C，则
       A+B=C  =〉A+B≡C mod 9
               由性质 N≡M(mod 9)
              =〉 (a[0]+a[1]+…+a[i])+( b[0]+b[1]+…+b[j])≡(c[0]+c[1]+…+c[k]) mod 9
   2.若A*B=C，则
           A*B=C => A*B  ≡C mod 9
由性质 N≡M(mod 9)
=>(a[0]+a[1]+…+a[i])*( b[0]+b[1]+…+b[j])≡(c[0]+c[1]+…+c[k])mod 9
      加法，除法的弃九法原理依此类推。